Mesure et incertitudes

I - Grandeurs et unités

⇨ Une grandeur physique est une caractéristique d'un système que l'on peut mesurer.

Par exemple dans la phrase : "la température de la classe est de 19°C", quelle est la grandeur physique dont il est question ? Qu'est-ce que l'on mesure ? Réponse : c'est la température.

Combien vaut-elle ? Réponse : 19 ; c'est la valeur. 19 quoi ? Réponse : degré Celcius ; c'est l'unité.

II - Système international d’unités

A toutes les grandeurs physiques sont associées des unités de mesure et leurs symboles. Le système le plus utilisé est le Système International (SI) qui comporte sept unités de base. Toutes les autres unités peuvent s'exprimer en fonction de ces sept unités de base.

**Tab.** - *système international d'unités*.
Grandeur de base	Unité de base	Symbole de l'unité
Distance	mètre	\(m\)
Masse	kilogramme	\(kg\)
Temps	seconde	\(s\)
Intensité du courant électrique	ampère	\(A\)
Température	kelvin	\(K\)
Intensité lumineuse	candela	\(cd\)
Quantité de matière	mole	\(mol\)

III - Les nombres décimaux...

Tous les résultats numériques sont exprimés sous la forme de nombres décimaux. La plupart du temps il faut les arrondir.
Quel est l'arrondit au dixième de 4,76 ? Réponse : 4,8.
Quel est l'arrondit au dixième de 4,83 ? Réponse : 4,8.

L'écriture du résultat sous la forme d'un arrondi au dixième 4,8 veut dire en réalité que le résultat est compris entre dans l'intervalle \([4,75 ; 4,85[\). Ce que l'on peut encore écrire sous la forme : \(4,80 ±0,05\).

Le résultat est donné sous la forme d'une valeur (\(4,80\)) et d'une incertitude (\(0,05\)) qui est ajoutée ou retranchée à la valeur (d'où le "\(±\)").

IV - Sources d’erreurs

Aucune grandeur physique mesurée n'est connue avec exactitude, du fait des erreurs liées à la méthode et/ou à l'appareil utilisés; ou des variations naturelles de tout phénomène physique.

On distingue deux sources d'erreurs :

⇨ l'erreur systématique : c'est une forme d'erreur qui ne varie pas lorsqu'on répète la mesure d'une grandeur physique. Par exemple une balance mal étalonnée qui ajoute systématiquement \(4,3 \text{ }g\) à la masse d'un produit.

⇨ l'erreur aléatoire : c'est une forme d'erreur qui apparait au hasard lorsqu'on répète plusieurs fois une mesure. On obtient alors des valeurs de façon non prévisible.

Lorsqu'une mesure est répétée, l'erreur commise peut être aléatoire et varier d'une mesure à l'autre. On dit alors que la mesure n'est pas fidèle. L'erreur peut aussi être systématique. Dans ce cas, on dit que la mesure n'est pas juste. Les deux types d'erreur peuvent se cumuler.

V - Variabilité de la mesure d’une grandeur physique. Justesse et fidélité

image histogramme => approche statistique. distribution. loi normale.

La dispersion des mesures peut être représentée graphiquement sous la forme d'un histogramme qui montre les effectifs pour chaque valeur ou intervalle de valeurs. On peut alors utiliser des outils statistiques pour caractériser la dispersion des mesures.

VI - Dispersion des mesures, incertitude-type sur une série de mesures. (type A)

Une grandeur physique \(x\) dont on fait \(n\) mesures dans des conditions identiques (conditions de répétabilité) a pour valeur estimée la moyenne de ces valeurs :

\[ { x_{estimée}=\dfrac{x_1+x_2+x_3+...+x_n}{n}=\bar{x} } \] \[ { \bar{x}=\dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_k } \]

L'évaluation de l'incertitude-type \(u_x\) associée à la mesure tient compte du caractère groupé ou dispersé des valeurs expérimentales. L'incertitude évaluée de cette manière se calcule ainsi :

\[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { u(x)=\dfrac{s_x}{\sqrt{n}} } \]

Où \(s_x\) (anciennement noté \(σ_{n-1}\)) est l'écart-type expérimental de la série de valeurs. On l'obtient à la calculatrice ou on le calcule avec la formule suivante :

\[ { s_x =\sqrt{ \dfrac{1}{n-1} \sum_{k=1}^{n} (x_k-\bar{x})^2 } } \]

Lorsqu'on dispose d'une série d'une dizaine de valeurs, l'incertitude vaut :

\[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { U(x) ≃ 2\times u(x) } \]

Note. \(U(x)\) est l'incertitude (ou incertitude élargie). Elle est aussi notée \(Δx\).

Remarque. L'intervalle de confiance obtenu avec \(u(x)\) a un taux de confiance de 65% alors qu'avec \(U(x)\) le taux de confiance est de 95%.

Note. On parle indifférement de "taux" ou de "niveau" de confiance.

⇨ Activité d'application : à la calculatrice, avec un tableur, avec un programme en Python... ou le calculateur ci-dessous.

Compléter les cases blanches. Les résultats sont donnés dans les cases jaunes.

indice \(k\)	valeur \(x_k\)
\(1\)
\(2\)
\(3\)
\(4\)
\(5\)
\(6\)
\(7\)
\(8\)
\(9\)
\(10\)
\(11\)
\(12\)
\(13\)

\(\bar{x} =\)

\(s_{x} =\)

\(n =\)

\(u_{x} =\)

\(U_{x} = Δx = \)

VII - Écriture d’un résultat

A l'issue d'une mesure, on a obtenu une estimation de \(x\), notée \(\bar{x}\).

Cette mesure étant entachée d'erreurs, la valeur de \(x\) n'est pas connue exactement mais avec une certaine incertitude. L'incertitude est un nombre positif, noté \(U(x)\), qui traduit la dispersion des valeurs de \(x\).

⇨ Le résultat de la mesure est présenté sous la forme :

\[ \bbox[yellow, 4px, border:1px solid red] { x=\bar{x} \pm U(x) } \]

On peut aussi donner l'intervalle de confiance dans lequel la probabilité de trouver \(x\) est très élevée :

\[ { \begin{bmatrix} \bar{x}-U(x) ; \bar{x}+U(x) \end{bmatrix} } \]

⇨ L'incertitude ne s'exprime qu'avec un seul chiffre significatif.

⇨ Le dernier chiffre significatif de la valeur mesurée doit être à la même position que le chiffre significatif de l'incertitude.

VIII - Valeur de référence

Il arrive que l'on dispose d'une valeur de référence \(x_{réf}\), par exemple une valeur théorique attendue, une indication du fabricant, etc. Si \(x_{réf}\) est dans l'intervalle de confiance \( \begin{bmatrix} \bar{x}-U(x) ; \bar{x}+U(x) \end{bmatrix} \), alors la mesure est conforme à cette valeur de référence.